富山県立高校入試 数学｜小問集合

この記事では、実際の過去問をそのまま掲載するのではなく、過去数年分の出題傾向をもとに、当塾が独自に作成した予想問題・類題を紹介しています。

次の各問いに答えなさい。必要な場合は、途中の計算を残しておきましょう。

1. 4
2. −4a²b
3. √3
4. 4x−23
5. x＝3、y＝1
6. x＝2、3
7. ア、エ
8. 3n＋1本
9. 2／5
10. ∠BACの二等分線と辺BCとの交点O

問1　乗法を先に計算する

−8−（−3）×4では、加減より先に乗法を計算します。

（−3）×4＝−12
−8−（−12）＝−8＋12＝4

負の数を引くときは、加法に直して符号を確認しましょう。

問2　係数と文字を分けて整理する

係数は12÷（−3）＝−4です。同じ文字の除法では指数を引きます。

a³÷a＝a²
b²÷b＝b

したがって、答えは−4a²bです。

問3　根号の中を簡単にする

√75と√12を、それぞれ根号の中に平方数が残らない形にします。

√75＝√（25×3）＝5√3
√12＝√（4×3）＝2√3

√75−2√12
＝5√3−2×2√3
＝5√3−4√3
＝√3

同じ根号をもつ項に直してから、係数をまとめます。

問4　かっこの前の数をすべての項にかける

3（2x−5）−2（x＋4）
＝6x−15−2x−8
＝4x−23

−2（x＋4）を展開するときは、xにも4にも−2をかけます。符号の処理に注意しましょう。

問5　2つの式を加えて文字を消去する

2x＋y＝7とx−y＝2を辺々加えると、yが消去できます。

3x＝9
x＝3

x−y＝2にx＝3を代入すると、3−y＝2なので、y＝1です。

よって、x＝3、y＝1となります。

問6　積が0になる形にする

x²−5x＋6＝0
（x−2）（x−3）＝0

したがって、x−2＝0またはx−3＝0です。

よって、x＝2、3となります。2つの解を書き忘れないようにしましょう。

問7　x＞0での変化を一つずつ確認する

アのy＝3x＋1は傾きが正なので、xが増加するとyも増加します。

イのy＝−2x＋4は傾きが負なので、xが増加するとyは減少します。

ウのy＝6／xは、x＞0ではxが大きくなるほどyは小さくなります。

エのy＝x²−1は、x＞0ではxが大きくなるほどx²も大きくなるため、yも増加します。

オのy＝−x²＋3は、x＞0ではxが大きくなるほどyは小さくなります。

したがって、条件を満たすものはア、エの2つです。

問8　最初の4本と、増える3本に分ける

正方形が1個のとき、棒は4本必要です。正方形を右に1個増やすたびに、共有する1辺を除いた3本が増えます。

4＋3（n−1）
＝4＋3n−3
＝3n＋1

したがって、必要な棒の本数は3n＋1本です。

問9　全体の場合の数と、同じ色の場合を数える

赤玉を区別して赤1、赤2、赤3、白玉を白1、白2と考えます。5個の玉から2個を選ぶ組合せは、

5×4÷2＝10通り

です。

赤玉2個を選ぶ組合せは3通り、白玉2個を選ぶ組合せは1通りなので、同じ色になるのは合計4通りです。

4／10＝2／5

よって、求める確率は2／5です。

問10　2つの辺から等しい距離にある点を考える

円が辺ABと辺ACの両方に接するためには、円の中心から辺ABまでの距離と、辺ACまでの距離が等しくなる必要があります。

角の2辺から等しい距離にある点は、その角の二等分線上にあります。そこで、∠BACの二等分線を作図します。

1. Aを中心として、辺AB、辺ACの両方と交わる円弧をかく。
2. 円弧と辺AB、辺ACとの交点を、それぞれ中心として同じ半径の円弧をかく。
3. 2つの円弧の交点とAを結び、∠BACの二等分線を作図する。
4. ∠BACの二等分線と辺BCとの交点をOとする。

Oは辺ABと辺ACから等しい距離にあり、さらに辺BC上にあるため、条件を満たす円の中心になります。

この問題で身につけたいポイント

• 計算の順序と符号を意識し、基本問題を正確に処理する。
• 関数や確率では、選択肢や場合の数を一つずつ確認する。
• 作図では、求める点がどの条件を満たす点なのかを言葉で整理する。

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