【富山県立高校入試・数学対策】関数と図形の融合問題の練習
富山県立高校入試の数学では、関数の式を求める問題に、図形の面積や座標の条件を組み合わせた問題が出題されることがあります。
ここでは、放物線上の2点を結ぶ直線をもとに、直線の式を求める問題と、三角形の面積条件から点の座標を求める問題を取り扱います。関数と図形を別々に考えるのではなく、座標平面上で面積をどう表すかを意識して解いていきましょう。
この記事では、実際の過去問をそのまま掲載するのではなく、過去数年分の出題傾向をもとに、当塾が独自に作成した予想問題・類題を紹介しています。
問題
取り組み方
まず2点を通る直線の式を求めます。その後、点Pを文字で表し、三角形の面積を式にする流れで考えましょう。座標平面上の三角形の面積では、点の座標を使って面積を求める方法が有効です。
放物線 y＝1/2 x2 上に、点A(−2, 2)、点B(4, 8) がある。直線ABをℓとする。
問題1
直線ℓの式を求めなさい。
問題2
直線ℓ上に、x座標が正である点Pをとる。三角形OAPの面積が三角形OABの面積の 2/3 になるとき、点Pの座標を求めなさい。
解答・解説
問題1
答え：y＝x＋4
A(−2, 2)、B(4, 8) を通る直線の傾きを求めます。
傾き＝(8−2) ÷ {4−(−2)}
＝6÷6
＝1
傾きが1なので、直線ℓの式を y＝x＋b とおきます。
B(4, 8) を代入すると、
8＝4＋b
b＝4
したがって、直線ℓの式は y＝x＋4 です。
問題2
答え：P(2, 6)
まず、三角形OABの面積を求めます。
O(0,0)、A(−2,2)、B(4,8) より、三角形OABの面積は、
1/2 × |−2×8 − 4×2|
＝1/2 × |−16 − 8|
＝1/2 × 24
＝12
三角形OAPの面積は、三角形OABの面積の 2/3 なので、
12 × 2/3 ＝ 8
です。
次に、点Pは直線ℓ上にあるので、Pを (t, t＋4) とおきます。問題文より、Pのx座標は正なので t>0 です。
O(0,0)、A(−2,2)、P(t,t＋4) で三角形OAPの面積を求めると、
1/2 × |−2(t＋4) − 2t|
＝1/2 × |−2t−8−2t|
＝1/2 × |−4t−8|
t>0 なので、|−4t−8|＝4t＋8 です。
したがって、三角形OAPの面積は、
1/2 × (4t＋8) ＝ 2t＋4
となります。
これが8になればよいので、
2t＋4＝8
2t＝4
t＝2
よって、点Pのy座標は、t＋4＝2＋4＝6 です。
したがって、点Pの座標は P(2, 6) です。
学習ポイント
- 2点を通る直線の式は、まず傾きを求めてから切片を求めます。
- 点が直線上にあるときは、座標を文字で表すと条件を式にしやすくなります。
- 座標平面上の三角形の面積は、座標を使って計算できるようにしておきましょう。
- 面積条件が出てきたら、「求めたい点を文字でおく」→「面積を式にする」→「方程式を解く」という流れで整理しましょう。
まとめ
関数と図形の融合問題では、直線の式を求めるだけでなく、その式を使って点の座標や面積を考える力が必要になります。
特に、座標平面上の三角形の面積は、図だけで判断しようとすると迷いやすい問題です。点の座標を文字で表し、面積を式にする練習をしておくと、関数と図形を組み合わせた問題にも対応しやすくなります。
※本記事は、過去問分析をもとに当塾が作成した学習用コンテンツです。出題傾向の分析・整理にはAIも活用しています。
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