【富山県立高校入試・数学予想問題】動点と面積の変化を考える関数問題
こんにちは。今回は、富山県立高校入試らしい数学の予想問題として、動く点と面積の変化を扱う関数問題を紹介します。
富山県の数学では、図形の状況を読み取り、面積や長さの変化を式やグラフで表す問題がよく見られます。今回の問題も、そうした流れを意識して作成しました。
問題
次の図のように、1辺の長さが6cmの正方形ABCDがある。
点Pは、点Aを出発して、辺AB上をBまで、続いて辺BC上をCまで、常に一定の速さで動く。
点PがAを出発してからx秒後の、三角形APDの面積を y cm2 とする。
ただし、点PがBに着いた瞬間も、Cに着いた瞬間も含めて考える。
なお、AからBまで6秒、BからCまで6秒かかるものとする。
- 点PがAを出発してから2秒後の y の値を求めなさい。
- 点Pが辺BC上を動いているとき、y を x を用いて表しなさい。
- 点PがAを出発してからCに着くまでの、x と y の関係を表すグラフをかきなさい。
- y = 12 となる x の値をすべて求めなさい。
解説
問1
2秒後、点Pは辺AB上をAから2cm進んだ位置にあります。
三角形APDの底辺をADとみると、AD = 6cm、高さは2cmです。
y = 1/2 × 6 × 2 = 6
答え：6
問2
点Pが辺BC上を動いている間は、点Pから直線ADまでの距離は常に6cmです。
したがって、三角形APDの面積は一定になります。
y = 1/2 × 6 × 6 = 18
答え：y = 18（6 ≦ x ≦ 12）
問3
まず、0秒から6秒までは点Pが辺AB上を動きます。
このとき高さは x cm なので、
y = 1/2 × 6 × x = 3x
次に、6秒から12秒までは点Pが辺BC上を動き、問2より y = 18 です。
したがってグラフは、
- （0,0）から（6,18）までの直線
- （6,18）から（12,18）までの水平な線分
になります。
問4
y = 12 となるときを考えます。
0秒から6秒では、
3x = 12
x = 4
6秒から12秒では y = 18 のままなので、y = 12 にはなりません。
答え：4
この問題のポイント
- 図形の状況を正しく読み取ること
- 面積の変化を式で表すこと
- 式からグラフへつなげて考えること
- グラフや式をもとに条件に合う値を読み取ること
富山県立高校入試では、単に計算するだけでなく、状況を整理して、式・グラフ・値の関係をつなげて考える力が大切です。こうした問題に慣れておくと、本番でも落ち着いて対応しやすくなります。
まとめ
今回の予想問題は、富山県でよく見られる「動点＋面積の変化」を意識した問題です。
最初は図を見ながら丁寧に追い、どの区間で何が変わり、何が変わらないかを整理することが得点のコツです。
今後も、富山県立高校入試らしい予想問題と解説を紹介していきます。
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