富山県立高校入試 数学｜関数と図形

【富山県立高校入試・数学対策】関数と図形

富山県立高校入試の数学では、グラフ上の点の座標を求めるだけでなく、面積条件と組み合わせて考える問題が出題されることがあります。この記事では、座標・直線の式・三角形の面積をつなげて確認します。

問題

座標平面上に、放物線 y＝1/2x² がある。この放物線上に点Aがあり、Aのx座標は−2である。また、点Bは同じ放物線上の点で、x座標は4である。原点をOとする。

1. 点Aのy座標を求めなさい。
2. 点A、Bを通る直線の式を求めなさい。
3. この直線上に、x座標が正である点Pをとる。△OAPの面積が△OABの面積の2/3になるとき、点Pの座標を求めなさい。

解答

1. 2
2. y＝x＋4
3. P（2，6）

解説

1では、点Aのx座標が−2なので、放物線の式 y＝1/2x² に代入します。y＝1/2×(−2)²＝1/2×4＝2 です。したがって、点Aのy座標は2です。

また、点Bはx座標が4なので、y＝1/2×4²＝1/2×16＝8 です。よって、A（−2，2）、B（4，8）です。

2では、点A、Bを通る直線の傾きを求めます。傾きは、(8−2)/(4−(−2))＝6/6＝1です。傾きが1なので、直線の式を y＝x＋b とおきます。点A（−2，2）を代入すると、2＝−2＋b より、b＝4です。したがって、直線の式は y＝x＋4 です。

3では、点Pを直線 y＝x＋4 上の点として、P（t，t＋4）とおきます。条件より、t＞0です。

まず、△OABの面積を求めます。O（0，0）、A（−2，2）、B（4，8）なので、座標を使って面積を求めると、|−2×8−2×4|÷2＝|−16−8|÷2＝24÷2＝12 です。

次に、△OAPの面積を求めます。O（0，0）、A（−2，2）、P（t，t＋4）なので、面積は |−2(t＋4)−2t|÷2 です。t＞0より、これは 2t＋4 となります。

△OAPの面積は、△OABの面積12の2/3なので、12×2/3＝8です。したがって、2t＋4＝8、2t＝4、t＝2です。

点Pは直線 y＝x＋4 上にあるので、x＝2を代入すると、y＝2＋4＝6です。よって、点Pの座標は P（2，6）です。

学習ポイント

• 放物線上の点は、x座標を代入してy座標を求める。
• 2点を通る直線は、まず傾きを求め、次に切片を求める。
• 直線上の動く点は、P（t，t＋4）のように文字で表すと整理しやすい。
• 座標平面上の三角形の面積は、座標を使って求めることができる。
• 面積条件から方程式を作ると、点Pの座標を求められる。

※本記事は、過去問分析をもとに当塾が作成した学習用コンテンツです。出題傾向の分析・整理にはAIも活用しています。