【富山県立高校入試・数学対策】動く点と面積の変化
動く点の問題では、点がどの辺上にあるかによって式が変わります。この記事では、時間と面積の関係を区間ごとに整理する練習をします。
問題
長方形ABCDがあり、AB＝8cm、BC＝6cmである。点PはAを出発し、辺AB、BC、CDの順に、毎秒2cmの速さでDまで動く。出発してからx秒後の△APDの面積をycm2とする。
- x＝2のとき、yの値を求めなさい。
- 点Pが辺BC上にあるとき、yをxの式で表しなさい。
- 点PがAを出発してからDに着くまでの、xとyの関係を表すグラフをかきなさい。
- y＝12となるxの値をすべて求めなさい。
解答
- 12
- y＝24 （4≦x≦7）
- 0≦x≦11 の範囲で、点（0,0）、（4,24）、（7,24）、（11,0）を順に直線で結ぶ。
- x＝2、9
解説
△APDは、ADを底辺と見ると、点Pから直線ADまでの距離が高さになります。長方形なので AD＝BC＝6cm です。したがって、面積 y は
y＝1/2×6×高さ
で求められます。
まず、点Pが辺AB上にあるときを考えます。速さは毎秒2cmなので、出発してからx秒後には AP＝2x cm です。このとき高さは AP と同じ 2x cm になるので、
y＝1/2×6×2x＝6x
となります。したがって、x＝2 のとき
y＝6×2＝12
です。
次に、点Pが辺BC上にあるときは、点Pから直線ADまでの距離は常に長方形の横の長さABと同じ 8cm です。したがって、
y＝1/2×6×8＝24
となります。Pが辺BC上にあるのは、Bに着く x＝4 秒後から、Cに着く x＝7 秒後までなので、
y＝24 （4≦x≦7）
です。
次に、点Pが辺CD上にあるときを考えます。x＝7 のとき点PはCにあり、そのとき直線ADまでの距離は8cmです。その後、毎秒2cmずつ左へ進むので、高さは
8−2(x−7)
と表せます。これを整理すると、
8−2(x−7)＝8−2x＋14＝22−2x
です。したがって、面積は
y＝1/2×6×(22−2x)=3(22−2x)=66−6x
となります。これは 7≦x≦11 の範囲で成り立ちます。
以上より、グラフは
- 0≦x≦4 では y＝6x
- 4≦x≦7 では y＝24
- 7≦x≦11 では y＝66−6x
となるので、点（0,0）、（4,24）、（7,24）、（11,0）を順に直線で結びます。
最後に、y＝12 となるxを求めます。
辺AB上では、
6x＝12
より、
x＝2
辺BC上では y＝24 なので、y＝12 にはなりません。
辺CD上では、
66−6x＝12
より、
−6x＝−54
x＝9
したがって、y＝12 となるxの値は
x＝2、9
です。
学習ポイント
- 点がどの辺上にあるかで、式を分ける。
- 面積は、底辺を固定すると高さの変化だけに注目できる。
- 変化の切り替わる時刻（Bに着くとき、Cに着くとき）を先に求めると整理しやすい。
- グラフでは、各区間の式と定義域を対応させることが大切である。
※本記事は、過去問分析をもとに当塾が作成した学習用コンテンツです。出題傾向の分析・整理にはAIも活用しています。
