【富山県立高校入試・数学対策】図形の証明と面積
図形問題では、証明で示した性質を次の計量問題に使う流れがよく見られます。この記事では、平行線・中点・平行四辺形の性質を使って考えます。
問題
長方形ABCDがあり、AB＝8cm、AD＝6cm、∠A＝90°である。Mは辺ABの中点、Fは辺DCの中点である。点Gは、Fを通りCMに平行な直線と、Cを通りMFに平行な直線の交点とする。また、直線GFと直線EMの交点をHとする。ただし、Eは辺ADの中点である。
- 四角形CMFGが平行四辺形であることを証明しなさい。
- 線分CEの長さを求めなさい。
- △HMFの面積を求めなさい。
解答
- 下の証明例参照
- √73cm
- 8cm2
解説・証明例
まず、四角形CMFGについて考えます。
点Gは、Fを通りCMに平行な直線上にあるので、
FG∥CM
です。また、点Gは、Cを通りMFに平行な直線上にあるので、
CG∥MF
です。
したがって、四角形CMFGは、2組の対辺がそれぞれ平行であるから、平行四辺形です。
次に、線分CEの長さを求めます。∠A＝90°なので、平行四辺形ABCDは長方形として考えられます。
Aを（0,0）、Bを（8,0）、Dを（0,6）、Cを（8,6）とおきます。Eは辺ADの中点なので、
E（0,3）
です。
よって、C（8,6）、E（0,3）より、CEの長さは
CE＝√{(8−0)2＋(6−3)2}
＝√(64＋9)
＝√73
したがって、CE＝√73cmです。
最後に、△HMFの面積を求めます。
Mは辺ABの中点なので、
M（4,0）
Fは辺DCの中点なので、
F（4,6）
です。
直線CMは、C（8,6）とM（4,0）を通るので、傾きは
(6−0)/(8−4)＝6/4＝3/2
です。直線GFはCMに平行で、F（4,6）を通るので、直線GFの式は
y＝3/2x
となります。
また、E（0,3）とM（4,0）を通る直線EMの傾きは
(0−3)/(4−0)＝−3/4
なので、直線EMの式は
y＝−3/4x＋3
です。
Hは直線GFと直線EMの交点なので、
3/2x＝−3/4x＋3
を解きます。
6x＝−3x＋12
9x＝12
x＝4/3
これを y＝3/2x に代入すると、
y＝3/2×4/3＝2
したがって、H（4/3, 2）です。
線分MFは、M（4,0）、F（4,6）なので、長さは6cmです。MFは直線x＝4上にあります。Hのx座標は4/3なので、Hから直線MFまでの距離は、
4−4/3＝8/3
です。
よって、△HMFの面積は、
1/2×6×8/3＝8
したがって、△HMFの面積は8cm2です。
学習ポイント
- 平行四辺形の証明では、2組の対辺がそれぞれ平行であることを示す方法が使える。
- 直角をもつ平行四辺形は、長方形として座標を置くと整理しやすい。
- 中点の座標は、端の点の座標を使って求める。
- 直線の交点は、2つの直線の式を連立して求める。
- 三角形の面積は、底辺と高さをどこに取るかを考えると計算しやすい。
※本記事は、過去問分析をもとに当塾が作成した学習用コンテンツです。出題傾向の分析・整理にはAIも活用しています。
