【富山県立高校入試・数学対策】動点とグラフの問題の練習
富山県立高校入試の数学では、図形上を点が動く「動点」の問題が出題されることがあります。
ここでは、長方形の辺上を点Pが動くとき、三角形の面積がどのように変化するかを考えます。点Pがどの辺上にあるかによって、面積の増え方・変わらない区間・減り方が変わることに注目しましょう。
この記事では、実際の過去問をそのまま掲載するのではなく、過去数年分の出題傾向をもとに、当塾が独自に作成した予想問題・類題を紹介しています。
問題
取り組み方
動点問題では、まず点Pが何秒後にどの頂点へ到着するかを整理しましょう。そのうえで、三角形の底辺と高さがどのように変化するかを区間ごとに考えることが大切です。
長方形ABCDがあり、AB＝8cm、BC＝6cmである。点Pは点Bを出発し、辺BC、CD、DAの順に、毎秒2cmの速さで動き、点Aで止まる。
出発してから x 秒後の三角形ABPの面積を y cm2 とする。
問題1
出発してから2秒後の三角形ABPの面積を求めなさい。
問題2
点Pが辺CD上にあるとき、三角形ABPの面積を求めなさい。
問題3
y を x の関数とみたとき、グラフの折れ線は、どの点を順に結べばよいか答えなさい。
問題4
y＝16 となる x の値をすべて求めなさい。
解答・解説
問題1
答え：16cm2
点Pは毎秒2cmで動くので、2秒後には、
2×2＝4cm
進んでいます。
点PはBからCに向かって動いているので、2秒後の点Pは辺BC上にあります。このとき、三角形ABPの底辺をABとすると、AB＝8cm、高さはBP＝4cmです。
したがって、三角形ABPの面積は、
1/2×8×4＝16
よって、答えは 16cm2 です。
問題2
答え：24cm2
点Pが辺CD上にあるとき、点Pから直線ABまでの高さは、長方形の高さと同じ6cmです。
底辺ABは8cmなので、三角形ABPの面積は、
1/2×8×6＝24
したがって、点Pが辺CD上にある間、三角形ABPの面積は常に 24cm2 です。
問題3
答え：(0,0)、(3,24)、(7,24)、(10,0) を順に結ぶ。
点Pが各頂点に到着する時刻を整理します。
辺BCの長さは6cmで、速さは毎秒2cmなので、Cに着くのは、
6÷2＝3秒後
です。このとき、三角形ABPの面積は24cm2です。
次に、辺CDの長さはABと同じ8cmです。CからDまでは、
8÷2＝4秒
かかります。したがって、Dに着くのは、
3＋4＝7秒後
です。点Pが辺CD上にある間、面積は24cm2のまま変わりません。
最後に、辺DAの長さはBCと同じ6cmです。DからAまでは、
6÷2＝3秒
かかります。したがって、Aに着くのは、
7＋3＝10秒後
です。このとき、点PはAにあるので、三角形ABPの面積は0cm2です。
よって、グラフは、
(0,0)、(3,24)、(7,24)、(10,0)
を順に結びます。
問題4
答え：x＝2、8
y＝16 となるのは、面積が増えている区間と、面積が減っている区間の2か所です。
まず、点Pが辺BC上にあるとき、0≦x≦3 です。このとき、点Pは毎秒2cmで進むので、BP＝2x です。
三角形ABPの面積は、
y＝1/2×8×2x＝8x
です。
y＝16 とすると、
8x＝16
x＝2
です。
次に、点Pが辺DA上にあるとき、7≦x≦10 です。点PがDを出発してからの時間は x−7 秒なので、Dから進んだ距離は 2(x−7) cm です。
DA＝6cmなので、点PからAまでの長さは、
6−2(x−7)＝20−2x
です。このとき、三角形ABPの高さは、点Pから直線ABまでの距離なので、20−2x cm です。
したがって、面積は、
y＝1/2×8×(20−2x)
＝4(20−2x)
＝80−8x
です。
y＝16 とすると、
80−8x＝16
8x＝64
x＝8
です。
したがって、y＝16 となる x の値は、x＝2、8 です。
学習ポイント
- 動点問題では、点がどの辺上にあるかを区間ごとに分けて考えましょう。
- まず、点Pが各頂点に到着する時刻を整理すると、グラフを描きやすくなります。
- 三角形の面積は、底辺と高さがどのように変化するかに注目します。
- 面積が一定になる区間がある場合は、グラフが水平な線になります。
- y の値から x を求める問題では、増加する区間と減少する区間の両方を確認しましょう。
まとめ
動点とグラフの問題では、点の動きを図の上で追いながら、面積や長さがどう変化するかを区間ごとに整理することが大切です。
今回の問題では、点PがBC上にあるときは面積が増え、CD上にあるときは面積が一定になり、DA上にあるときは面積が減っていきます。このように、動く場所によってグラフの形が変わることを意識して練習しましょう。
※本記事は、過去問分析をもとに当塾が作成した学習用コンテンツです。出題傾向の分析・整理にはAIも活用しています。
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