【富山県立高校入試・数学対策】空間図形と円すいの問題の練習
富山県立高校入試の数学では、円すいや角すいなどの空間図形について、表面積や体積を求める問題が出題されることがあります。
ここでは、円すいの表面積を求める問題に加えて、底面の円周上にとった3点を結んでできる正三角形や、その三角形を底面とする立体の体積を考えます。公式を使うだけでなく、図形どうしの関係を読み取ることが大切です。
この記事では、実際の過去問をそのまま掲載するのではなく、過去数年分の出題傾向をもとに、当塾が独自に作成した予想問題・類題を紹介しています。
問題
取り組み方
円すいの表面積では、底面積と側面積を分けて考えましょう。底面の円周を3等分する点を結ぶと正三角形ができます。空間図形では、どの図形を底面と見て、どの長さを高さと考えるかを整理することが大切です。
底面の半径が6cm、高さが8cm、母線の長さが10cmの円すいがある。円周率は π とする。
問題1
この円すいの表面積を求めなさい。
問題2
底面の円周上に3点P、Q、Rを、円周を3等分するようにとる。三角形PQRの面積を求めなさい。
問題3
円すいの頂点をAとするとき、4点A、P、Q、Rを結んでできる立体の体積を求めなさい。
解答・解説
問題1
答え：96π cm2
円すいの表面積は、底面積と側面積を合わせて求めます。
底面は半径6cmの円なので、底面積は、
6×6×π＝36π
です。
円すいの側面積は、
半径×母線×π
で求められます。半径が6cm、母線が10cmなので、
6×10×π＝60π
です。
したがって、表面積は、
36π＋60π＝96π
よって、答えは 96π cm2 です。
問題2
答え：27√3 cm2
P、Q、Rは、底面の円周を3等分する点なので、三角形PQRは正三角形になります。
半径6cmの円に内接する正三角形を考えると、中心から各頂点までの距離は6cmです。正三角形の中心から頂点までの距離は、正三角形の高さの 2/3 にあたります。
正三角形の1辺を a cm とすると、高さは、
√3/2 a
です。中心から頂点までの距離は、その 2/3 なので、
2/3 × √3/2 a ＝ √3/3 a
となります。
これが半径6cmに等しいので、
√3/3 a＝6
より、
a＝6√3
です。
したがって、三角形PQRは1辺が6√3cmの正三角形です。
正三角形の面積は、
√3/4 × a2
なので、
√3/4 × (6√3)2
＝√3/4 × 108
＝27√3
よって、答えは 27√3 cm2 です。
問題3
答え：72√3 cm3
4点A、P、Q、Rを結んでできる立体は、三角形PQRを底面とする三角すいです。
問題2より、底面となる三角形PQRの面積は、
27√3 cm2
です。
円すいの頂点Aから底面の円までの高さは8cmなので、この三角すいの高さも8cmです。
三角すいの体積は、
1/3 × 底面積 × 高さ
で求めます。
したがって、
1/3 × 27√3 × 8
＝9√3 × 8
＝72√3
よって、答えは 72√3 cm3 です。
学習ポイント
- 円すいの表面積は、底面積と側面積を分けて求めましょう。
- 円すいの側面積は、半径×母線×π で求められます。
- 円周を3等分する点を結ぶと、正三角形ができます。
- 円に内接する正三角形では、半径と正三角形の1辺の関係を整理することが大切です。
- 空間図形の体積では、どの面を底面と見るか、高さはどこかを確認しましょう。
まとめ
空間図形の問題では、公式を覚えるだけでなく、図形の中にある平面図形を見つける力が重要です。
今回の問題では、円すいの表面積、底面の円に内接する正三角形、そして三角すいの体積を順に考えました。円すいや角すいの問題では、底面・高さ・母線などの役割を整理しながら解く練習をしておきましょう。
※本記事は、過去問分析をもとに当塾が作成した学習用コンテンツです。出題傾向の分析・整理にはAIも活用しています。
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