富山県立高校入試 数学｜平方根と数の規則性

【富山県立高校入試・数学対策】平方根と数の規則性

数の性質を文字で表し、条件に合わせて値を求める問題です。計算だけでなく、連続する数の表し方を確認します。

問題

1. √3＝1.732 として、√2700 の値を求めなさい。
2. nを整数とする。nにどの整数を代入しても、連続する3つの偶数を小さい方から順に表したものになる式を、ア〜カからすべて選びなさい。
   ア n, n＋1, n＋2
   イ 2n, 2n＋2, 2n＋4
   ウ 2n−2, 2n, 2n＋2
   エ n−2, n, n＋2
   オ 2n−1, 2n＋1, 2n＋3
   カ 4n, 4n＋2, 4n＋4
3. 連続する3つの偶数を小さい方から順に a−2, a, a＋2 とする。
   A＝(a−2)a＋a(a＋2) とおく。A＝4608 のとき、中央の数aを求めなさい。ただし、3つの数はすべて自然数とする。

解答

1. 51.96
2. イ、ウ、カ
3. 48

解説

1は、根号の中を平方数と3の積に分けて考えます。

√2700＝√(900×3)＝30√3

√3＝1.732なので、

30×1.732＝51.96

したがって、√2700＝51.96です。

2は、nをどの整数にしても、3つとも偶数になり、しかも2ずつ増えているかを確認します。

イは、2n, 2n＋2, 2n＋4 なので、どの整数nに対しても3つとも偶数で、2ずつ増えています。したがって正しいです。

ウは、2n−2, 2n, 2n＋2 なので、どの整数nに対しても3つとも偶数で、2ずつ増えています。したがって正しいです。

エは、n−2, n, n＋2 なので、nが偶数なら連続する偶数になりますが、nが奇数のときは連続する奇数になります。したがって、「nにどの整数を代入しても」という条件には合いません。

カは、4n, 4n＋2, 4n＋4 なので、どの整数nに対しても3つとも偶数で、2ずつ増えています。したがって正しいです。

アは1ずつ増える数の並びであり、オは奇数の並びです。よって、正しい選択肢はイ、ウ、カです。

3は、文字式を展開して整理します。

A＝(a−2)a＋a(a＋2)

＝a²−2a＋a²＋2a

＝2a²

A＝4608なので、

2a²＝4608

a²＝2304

48²＝2304です。また、3つの数はすべて自然数なので、aは正の数です。したがって、

a＝48

となります。

学習ポイント

• 平方根は、平方数を外に出してから近似値を使う。
• 連続する偶数は、2ずつ増える形で表す。
• 文字を使った表し方では、「どんな整数でも成り立つか」を確認する。
• 文字式は、展開してから条件式に代入する。
• 二乗の方程式では、条件に合う正負の判断も忘れない。

※本記事は、過去問分析をもとに当塾が作成した学習用コンテンツです。出題傾向の分析・整理にはAIも活用しています。