富山県立高校入試 数学｜関数と図形

【富山県立高校入試・数学対策】関数と図形

富山県立高校入試の数学では、グラフ上の点の座標を求めるだけでなく、三角形の面積条件と結びつけて考える問題が出題されることがあります。この記事では、放物線と直線を使って座標と面積の関係を確認します。

問題

座標平面上に、放物線 y＝1/2x² がある。この放物線上の点Aのx座標を -2、点Bのx座標を 4 とする。また、点Aと点Bを通る直線をℓとする。

1. 点Aのy座標を求めなさい。
2. 直線ℓの式を求めなさい。
3. 直線ℓ上に、x座標が正である点Pをとる。△OAPの面積が△OABの面積の 2/3 になるとき、点Pの座標を求めなさい。ただし、Oは原点とする。

解答・解説

1. 2
   x＝-2 を y＝1/2x² に代入すると、y＝1/2×(-2)²＝1/2×4＝2。
2. y＝x＋4
   点Aは(-2,2)、点Bは(4,8)です。
   直線ℓの傾きは、(8－2)÷{4－(-2)}＝6÷6＝1。
   したがって、直線ℓを y＝x＋b とおくことができます。点A(-2,2)を代入すると、2＝-2＋b より b＝4。
   よって、直線ℓの式は y＝x＋4 です。
3. P(2,6)
   点Pは直線ℓ上にあるので、Pのx座標を t とすると、P(t，t＋4) と表せます。
   まず、△OABの面積を求めます。直線ABの下にできる台形の面積から、△OABの外側にある2つの三角形の面積を引いて考えます。
   x＝-2 から x＝4 までの台形の面積は、(2＋8)×6÷2＝30。
   左側の三角形の面積は 2×2÷2＝2、右側の三角形の面積は 4×8÷2＝16。
   したがって、△OABの面積は 30－2－16＝12 です。
   △OAPの面積は、△OABの面積の 2/3 なので、12×2/3＝8。
   また、P(t，t＋4) とすると、△OAPの面積は 2t＋4 と表せます。
   よって、2t＋4＝8。これを解くと t＝2。
   Pは直線ℓ上の点なので、y＝2＋4＝6。したがって、P(2,6) です。

学習ポイント

関数と図形の融合問題では、点の座標を文字で置くことが大切です。面積は、図形の見た目だけで考えず、座標・底辺・高さ・式のどれを使うと整理しやすいかを判断しましょう。

※本記事は、過去問分析をもとに当塾が作成した学習用コンテンツです。出題傾向の分析・整理にはAIも活用しています。