【富山県立高校入試・数学対策】平面図形と証明
今回は、富山県立高校入試の数学で見られる、平面図形の証明と、その結果を利用して長さや面積を求める問題を取り上げます。
証明問題では、図を見た印象だけで説明するのではなく、問題文から分かる条件、平行線から導ける角の関係、最後に示したい結論を順序立てて書くことが大切です。証明の後に続く計算でも、証明によって得られた相似関係を活用しましょう。
今回の予想問題
下の図のように、△ABCの辺AB上に点D、辺AC上に点Eをとり、DE∥BCとします。
AD＝6cm、DB＝3cm、AE＝8cmであり、△ADEの面積は24cm2です。
問1
△ADEと△ABCが相似であることを証明しなさい。
問2
線分ECの長さを求めなさい。
問3
四角形DBCEの面積を求めなさい。
正解
- 証明
△ADEと△ABCにおいて、
DE∥BCより、錯角は等しいので、
∠ADE＝∠ABC
∠AED＝∠ACB
よって、2組の角がそれぞれ等しいので、
△ADE∽△ABC（（△ADEと△ABCは相似）） - 4cm
- 30cm2
解説
問1 平行線から等しい角を見つける
証明では、最初に比較する2つの三角形を書き、次に等しい角とその根拠を示します。
△ADEと△ABCにおいて、
DE∥BCより、錯角は等しいので、
∠ADE＝∠ABC
∠AED＝∠ACB
よって、2組の角がそれぞれ等しいので、
△ADE∽△ABC
点Dは辺AB上、点Eは辺AC上にあるため、ADとAB、AEとACはそれぞれ同じ直線上にあります。さらにDE∥BCなので、直線ABを横切る錯角と、直線ACを横切る錯角がそれぞれ等しくなります。
対応する頂点は、AとA、DとB、EとCです。そのため、三角形の名前は△ADE∽△ABCの順で書きます。
相似な三角形を書くときは、対応する頂点の順序をそろえましょう。順序が違うと、後で辺の比を立てるときに対応関係を誤りやすくなります。
問2 相似な三角形の辺の比を使う
まず、辺ABの長さを求めます。
AB＝AD＋DB
＝6＋3
＝9cm
△ADE∽△ABCより、対応する辺は、
ADとAB、AEとAC、DEとBC
です。したがって、
AD：AB＝AE：AC
数値を代入すると、
6：9＝8：AC
6：9＝2：3なので、
8：AC＝2：3
2AC＝24
AC＝12cm
求めるのはACではなくECです。
EC＝AC−AE
＝12−8
＝4cm
途中でACを求めたところで終わらず、設問で求められている線分を最後に確認しましょう。
問3 相似比から面積比を求める
△ADEと△ABCの相似比は、
AD：AB＝6：9＝2：3
です。相似な図形の面積比は、相似比の2乗になります。
△ADEの面積：△ABCの面積
＝22：32
＝4：9
△ADEの面積が24cm2なので、△ABCの面積をScm2とすると、
24：S＝4：9
4S＝24×9
S＝54
したがって、△ABCの面積は54cm2です。
四角形DBCEは、△ABCから△ADEを除いた部分です。
54−24＝30cm2
相似比が2：3のとき、面積比を2：3としてはいけません。面積比は、それぞれを2乗した4：9になります。
この問題で身につけたいポイント
- 平行線がある図では、錯角や同位角から等しい角を探す。
- 相似な三角形を書くときは、対応する頂点の順序をそろえる。
- 証明で得た相似比を長さに利用し、面積では相似比を2乗する。
まとめ
図形の証明では、図から分かりそうなことをそのまま書くのではなく、問題文に示された条件や平行線の性質を根拠として使うことが大切です。今回の問題では、DE∥BCから2組の錯角が等しいことを示し、三角形の相似を証明しました。
証明が完成した後は、相似な三角形の対応する辺の比を使って長さを求め、さらに相似比の2乗を使って面積を求めました。このように、証明問題の後には、証明で得た関係を利用する計算問題が続くことがあります。
ふだんの練習でも、「何を証明したか」「対応する辺はどれか」「その結果を次の設問でどう使うか」を、一つの流れとして確認しましょう。
※本記事は、過去問分析をもとに当塾が作成した学習用コンテンツです。出題傾向の分析・整理にはAIも活用しています。
