【富山県立高校入試・数学対策】関数と図形
今回は、富山県立高校入試の数学で見られる、関数と図形を組み合わせた問題を取り上げます。
グラフ上の座標を読み取る基本問題から、直線の式、三角形の面積を利用した座標の決定へと進みます。図から分かる条件を、式に置き換えて考えることが大切です。
今回の予想問題
下の図で、曲線は関数 y＝x2 のグラフです。
点A、Bはこの曲線上の点で、Aのx座標は−2、Bのx座標は1です。直線ℓは、2点A、Bを通っています。
また、点Pは曲線上を動く点で、そのx座標をtとします。ただし、t＞1とします。原点をOとします。
グラフ作成に用いた主な座標
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y＝x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
問1
点Aの座標を求めなさい。
問2
直線ℓの式を求めなさい。
問3
三角形ABPの面積が15になるとき、点Pの座標を求めなさい。
ただし、点Pのx座標は1より大きいものとします。
正解
- （−2，4）
- y＝−x＋2
- （3，9）
解説
問1 関数の式にx座標を代入する
点Aは、関数y＝x2のグラフ上にあり、x座標は−2です。
y＝（−2）2＝4
したがって、点Aの座標は（−2，4）です。
問2 2点の座標から直線の式を求める
点Bのx座標は1なので、関数y＝x2に代入すると、Bの座標は（1，1）です。
点A（−2，4）と点B（1，1）を通る直線の傾きを求めます。
傾き＝ 1−4 1−（−2） ＝−1
直線の式をy＝−x＋bとおき、点B（1，1）を代入します。
1＝−1＋b
これよりb＝2です。
したがって、直線ℓの式はy＝−x＋2です。
問3 面積をx座標の式で表す
点Pのx座標をtとすると、Pは関数y＝x2のグラフ上にあるので、
P（t，t2）
と表せます。
直線ABの式はy＝−x＋2です。これを
x＋y−2＝0
と表すと、点Pから直線ABまでの距離は、
｜t＋t²−2｜ √2
です。
また、A（−2，4）、B（1，1）より、
AB＝√｛（1＋2）²＋（1−4）²｝＝√18＝3√2
t＞1なので、t＋t2−2は正です。したがって、三角形ABPの面積は、
1／2 ×3√2× t²＋t−2 √2 ＝ 3／2 （t²＋t−2）
これが15になるので、
3／2（t²＋t−2）＝15
t²＋t−12＝0
（t−3）（t＋4）＝0
よって、t＝3またはt＝−4です。
ただし、問題の条件はt＞1なので、t＝3だけが条件を満たします。
y＝3²＝9
したがって、点Pの座標は（3，9）です。
この問題で身につけたいポイント
- グラフ上の点では、x座標を関数の式に代入してy座標を求める。
- 2点を通る直線は、最初に傾きを求めてから切片を決める。
- 図形の面積条件では、動く点の座標を文字で表し、面積を方程式にする。
まとめ
関数と図形の融合問題では、グラフを眺めるだけでなく、それぞれの点の座標を式で表すことが重要です。座標が分かれば、直線の式、長さ、面積といった図形の情報を計算できるようになります。
難しく見える問題でも、最初は「点の座標を求める」「直線の式を求める」「面積を文字式で表す」という順に整理すると、解法の流れが見えやすくなります。ふだんの練習でも、図に座標や式を書き込みながら考えましょう。
※本記事は、過去問分析をもとに当塾が作成した学習用コンテンツです。出題傾向の分析・整理にはAIも活用しています。
