富山県立高校入試 数学｜小問集合

【富山県立高校入試・数学対策】小問集合

富山県立高校入試の数学では、計算・方程式・関数・規則性・確率・作図などを短時間で処理する力が求められます。この記事では、基本問題を幅広く確認します。

問題

1. −18÷3＋4×5 を計算しなさい。
2. 12a³b ÷ 3ab² を簡単にしなさい。
3. √75 − √27 を簡単にしなさい。
4. 3(2x−5)−2(x＋4) を簡単にしなさい。
5. 連立方程式 2x＋y＝7、x−y＝2 を解きなさい。
6. x²−5x＋6＝0 を解きなさい。
7. x＞0 の範囲で、xの値が増加するとき、yの値も増加するものをすべて選びなさい。
   ア y＝2x＋1　イ y＝−x＋5　ウ y＝3/x　エ y＝x²　オ y＝−x²
8. 同じ大きさの正六角形を横一列にn個つなげて並べる。となり合う正六角形は1辺を共有する。このとき、外側の辺の本数をnを使った式で表しなさい。
9. 赤玉3個、白玉2個、青玉1個が入った袋から同時に2個取り出す。2個とも赤玉である確率を求めなさい。
10. 直線AB上に点Aがあり、点Pは直線AB上にない。点Aで直線ABに接し、点Pを通る円の中心Oを作図で求めなさい。ただし、作図に用いた線は消さずに残すこと。

解答

1. 14
2. 4a²/b
3. 2√3
4. 4x−23
5. x＝3、y＝1
6. x＝2、3
7. ア、エ
8. 4n＋2
9. 1/5
10. 点Aを通る直線ABの垂線と、線分APの垂直二等分線との交点をOとする。
    
    
    

解説

1は、かけ算・わり算を先に計算します。−18÷3＝−6、4×5＝20なので、−6＋20＝14です。

2は、係数と文字を分けて整理します。12÷3＝4、a³÷a＝a²、b÷b²＝1/b なので、答えは 4a²/b です。

3は、根号の中を簡単にします。√75＝√(25×3)＝5√3、√27＝√(9×3)＝3√3なので、√75−√27＝2√3です。

4は、かっこを外して同類項をまとめます。3(2x−5)−2(x＋4)＝6x−15−2x−8＝4x−23です。

5は、2つの式を足すと、(2x＋y)＋(x−y)＝7＋2 より、3x＝9、x＝3です。これをx−y＝2に代入して、3−y＝2、y＝1です。

6は、x²−5x＋6＝(x−2)(x−3) と因数分解できます。したがって、x＝2、3です。

7は、x＞0に限定されていることに注意します。y＝2x＋1は一次関数で増加し、y＝x²もx＞0では増加します。一方、y＝−x＋5、y＝3/x、y＝−x²は、x＞0でxが増えるとyは減少します。よって、答えはア、エです。

8は、正六角形1個なら外側の辺は6本です。正六角形を1個増やすごとに、共有する1辺が内側に入り、外側の辺は4本ずつ増えます。したがって、6＋4(n−1)＝4n＋2です。

9は、6個の玉から2個を取り出す場合の数が15通り、赤玉3個から2個を取り出す場合の数が3通りです。したがって、確率は3/15＝1/5です。

10は、円が直線ABに点Aで接するので、円の中心Oは点Aを通る直線ABの垂線上にあります。また、円は点Aと点Pを通るので、OA＝OPです。したがって、Oは線分APの垂直二等分線上にもあります。この2直線の交点が円の中心Oです。

学習ポイント

• 計算は、符号・分配法則・指数の扱いを確認する。
• 連立方程式は、文字を消去しやすい組み合わせを探す。
• 二次方程式は、因数分解できる形かどうかをまず確認する。
• 複数選択では、すべての選択肢を条件に照らして判断する。
• 規則性は、最初の数と増え方を式にする。
• 作図は、垂線・垂直二等分線・角の二等分線など、根拠を説明できる線を残す。

※本記事は、過去問分析をもとに当塾が作成した学習用コンテンツです。出題傾向の分析・整理にはAIも活用しています。