富山県立高校入試 数学｜回転体と最短距離

【富山県立高校入試・数学対策】回転体と最短距離

富山県立高校入試の数学では、平面図形を回転させてできる立体の体積や、展開図を使った最短距離を考える問題が出題されることがあります。この記事では、長方形の回転体を使って確認します。

問題

長方形ABCDがあり、AB＝8cm、BC＝6cmである。この長方形を、辺ABを軸として1回転させる。

1. 線分ACの長さを求めなさい。
2. できる立体の体積を求めなさい。ただし、円周率はπとする。
3. できる立体の側面上を、点Cに対応する点から、側面をちょうど1周して点Dに対応する点まで進むとき、その最短距離を求めなさい。ただし、円周率はπとする。

解答・解説

1. 10cm
   長方形ABCDで、AB＝8cm、BC＝6cm なので、対角線ACは三平方の定理を使って求められます。
   AC²＝8²＋6²＝64＋36＝100
   よって、AC＝10cm です。
2. 288πcm³
   辺ABを軸に回転すると、半径6cm、高さ8cmの円柱ができます。
   半径は、軸ABから点Cまでの距離なので BC＝6cm、高さは AB＝8cm です。
   したがって、体積は
   π×6²×8＝π×36×8＝288π
   よって、288πcm³ です。
3. 4√(9π²＋4) cm
   円柱の側面を展開すると、横の長さが底面の円周、縦の長さが円柱の高さの長方形になります。
   横の長さは、2π×6＝12π cm、縦の長さは 8cm です。
   「側面をちょうど1周して」進むので、展開図では横に 12π cm 進みながら、縦に 8cm 移動することになります。
   最短距離はこの長方形の対角線の長さなので、三平方の定理より
   距離²＝(12π)²＋8²＝144π²＋64
   したがって、最短距離は
   √(144π²＋64)＝√{16(9π²＋4)}＝4√(9π²＋4)
   よって、4√(9π²＋4) cm です。

学習ポイント

回転体では、どこが半径になり、どこが高さになるかを正確に見分けることが大切です。側面上の最短距離は、立体のまま考えるより、展開図に直して直線で考えると整理しやすくなります。

※本記事は、過去問分析をもとに当塾が作成した学習用コンテンツです。出題傾向の分析・整理にはAIも活用しています。