【富山県立高校入試・数学対策】平行線と中点を使う図形
富山県立高校入試の数学では、図形の性質を証明し、その結果を使って長さや面積を求める問題が出題されることがあります。この記事では、平行四辺形と中点の条件を使って考えます。
この記事では、実際の過去問をそのまま掲載するのではなく、過去数年分の出題傾向をもとに、当塾が独自に作成した予想問題・類題を紹介しています。
問題
平行四辺形ABCDがある。辺AB上に点Eを、辺CD上に点Fをとり、EはABの中点、FはCDの中点である。
- 四角形AECFが平行四辺形であることを証明しなさい。
- AB＝12cmのとき、線分AEの長さを求めなさい。
- さらにAD＝10cm、∠DAB＝60°のとき、四角形AECFの面積を求めなさい。
解答・解説
- 証明例
平行四辺形ABCDで、AB∥CD、AB＝CDである。
EはABの中点、FはCDの中点だから、AE＝1/2AB、CF＝1/2CD。
AB＝CDより、AE＝CF。
また、AEはAB上、CFはCD上にあり、AB∥CDだから、AE∥CF。
したがって、四角形AECFは、1組の向かい合う辺が平行で、その長さが等しい。
よって、四角形AECFは平行四辺形である。 - 6cm
EはABの中点なので、AE＝12÷2＝6。
よって、線分AEの長さは6cmである。 - 30√3cm2
四角形AECFは平行四辺形なので、面積は「底辺×高さ」で求める。
底辺をAEとすると、AE＝6cmである。
次に、ABとCDの間の高さを求める。点Dから直線ABに垂線を下ろし、その交点をHとする。
∠DAB＝60°、AD＝10cm なので、△ADHは、角が30°、60°、90°の直角三角形になる。
このとき、30°、60°、90°の直角三角形の辺の比は、1：2：√3である。
AD＝10cmは斜辺だから、DH＝5√3cm。
したがって、四角形AECFの面積は、6×5√3＝30√3。
よって、30√3cm2である。
学習ポイント
証明問題では、「平行」「等しい長さ」「中点」という条件をどの辺に使うかを整理しましょう。証明で分かった図形の性質は、次の長さや面積の計算につながることがあります。
※本記事は、過去問分析をもとに当塾が作成した学習用コンテンツです。出題傾向の分析・整理にはAIも活用しています。
